对于给定的n 个元素的数组a [ 0 ： n - 1 ]，要求从中找出第k小的元素。当a [ 0 ： n - 1 ]被排序时，该元素就是a [ k - 1 ].假设n = 8，每个元素有两个域k e y和I D，其中k e y是一个整数，I D是一个字符。假设这8个元素为[ （ 1 2 ，a），（ 4 ，b），（ 5 ，c），（ 4 ，d），（ 5 ，e），（ 1 0 ，f），（ 2 ，g），（ 2 0 ，h）]， 排序后得到数组[ （ 2 ，g），（ 4 ，d），（ 4 ，b），（ 5 ，c），（ 5 ，e），（ 1 0 ，f），（ 1 2 ，a），（ 2 0 ，h） ].如果k = 1，返回I D为g 的元素；如果k = 8，返回I D为h 的元素；如果k = 6，返回是I D为f 的元素；如果k = 2，返回I D为d 的元素。实际上，对最后一种情况，所得到的结果可能不唯一，因为排序过程中既可能将I D为d 的元素排在a [ 1 ]，也可能将I D为b 的元素排在a [ 1 ]，原因是它们具有相同大小的k e y，因而两个元素中的任何一个都有可能被返回。但是无论如何，如果一个元素在k = 2时被返回，另一个就必须在k = 3时被返回。
选择问题的一个应用就是寻找中值元素，此时k = [n / 2 ].中值是一个很有用的统计量，例如中间工资，中间年龄，中间重量。其他k值也是有用的。例如，通过寻找第n / 4 ， n / 2和3 n / 4这三个元素，可将人口划分为4份。
选择问题可在O （ n l o g n ）时间内解决，方法是首先对这n个元素进行排序（如使用堆排序式或归并排序），然后取出a [ k - 1 ]中的元素。若使用快速排序（如图1 4 - 11所示），可以获得更好的平均性能，尽管该算法有一个比较差的渐近复杂性O（ n2 ）。
可以通过修写程序1 4 - 6来解决选择问题。如果在执行两个w h i l e循环后支点元素a [ l ]被交换到a [ j ] ，那么a [ l ]是a [ l ： j ]中的第j - l + 1个元素。如果要寻找的第k 个元素在a [ l ： r ]中，并且j - l + 1等于k，则答案就是a [ l ]；如果j - l + 1 < k，那么寻找的元素是r i g h t中的第k - j + l - 1个元素，否则要寻找的元素是left 中的第k个元素。因此，只需进行0次或1次递归调用。新代码见程序1 4 - 7.S e l e c t中的递归调用可用f o r或w h i l e循环来替代（练习2 5）。
程序14-7 寻找第k 个元素
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template T Select(T a[], int n, int k) {// 返回a [ 0 : n - 1 ]中第k小的元素 // 假定a[n] 是一个伪最大元素 if (k < 1 || k > n) throw OutOfBounds(); return select(a, 0, n-1, k); } template T select(T a[], int l, int r, int k) {// 在a [ l : r ]中选择第k小的元素 if (l >= r) return a[l]; int i = l, // 从左至右的游标 j = r + 1; // 从右到左的游标 T pivot = a[l]; // 把左侧>= pivot的元素与右侧<= pivot 的元素进行交换 while (true) { do {// 在左侧寻找>= pivot 的元素 i = i + 1; } while (a[i] < pivot); do {// 在右侧寻找<= pivot 的元素 j = j - 1; } while (a[j] > pivot); if (i >= j) break; // 未发现交换对象 Swap(a[i], a[j]); } if (j - l + 1 == k) return pivot; // 设置p i v o t a[l] = a[j]; a[j] = pivot; // 对一个段进行递归调用 if (j - l + 1 < k) return select(a, j+1, r, k-j+l-1); else return select(a, l, j-1, k); } |
程序1 4 - 7在最坏情况下的复杂性是（ n2 ），此时left 总是为空，而且第k个元素总是位于r i g h t.
如果假定n 是2的幂，则可以取消公式（2 - 1 0）中的向下取整操作符。通过使用迭代方法，可以得到t （n） = （n）。若仔细地选择支点元素，则最坏情况下的时间开销也可以变成（n）。一种选择支点元素的方法是使用“中间的中间（ m e d i a n - o f - m e d i a n）”规则，该规则首先将数组a中的n 个元素分成n/r 组，r 为某一整常数，除了最后一组外，每组都有r 个元素。然后通过在每组中对r 个元素进行排序来寻找每组中位于中间位置的元素。最后根据所得到的n/r 个中间元素，递归使用选择算法，求得所需要的支点元素。
#p#副标题#e#例2-6 [中间的中间] 考察如下情形：r=5， n=27， 并且a= [ 2，6，8，1，4，1 0，2 0，6，2 2，11，9，8，4，3，7，8，1 6，11，1 0，8，2，1 4，1 5，1，1 2，5，4 ].这2 7个元素可以被分为6组[ 2 ， 6 ， 8 ， 1 ， 4 ]，[ 1 0 ， 2 0 ， 6 ， 2 2 ， 11 ]，[ 9 ， 8 ， 4 ， 3 ， 7 ]，[ 8 ， 1 6 ， 11 ， 1 0 ， 8 ]，[ 2 ， 1 4 ， 1 5 ， 1 ， 1 2 ]和[ 5 ， 4 ]，每组的中间元素分别为4 ， 11 ， 7 ， 1 0 ， 1 2和4.[ 4 ， 11 ， 7 ， 1 0 ， 1 2 ， 4 ]的中间元素为7.这个中间元素7被取为支点元素。由此可以得到l e ft= [ 2 ， 6 ， 1 ， 4 ， 6 ， 4 ， 3 ， 2 ， 1 ， 5 ， 4 ]，m i d d l e= [ 7 ] ，r i g h t= [ 8 ， 1 0 ， 2 0 ， 2 2 ， 11 ， 9 ， 8 ， 8 ， 1 6 ， 11 ， 1 0 ， 8 ， 1 4 ， 1 5 ， 1 2 ].
如果要寻找第k个元素且k< 1 2，则仅仅需要在l e f t中寻找；如果k= 1 2，则要找的元素就是支点元素；如果k> 1 2，则需要检查r i g h t中的1 5个元素。在最后一种情况下，需在r i g h t中寻找第（k- 1 2 ）个元素。
定理2-2 当按“中间的中间”规则选取支点元素时，以下结论为真：
1） 若r=9， 那么当n≥9 0时，有m a x { |l e f e|， |r i g h t| }≤7n / 8.
2） 若r= 5，且a 中所有元素都不同，那么当n≥2 4时，有max{| left |， | right | }≤3n/ 4.
证明这个定理的证明留作练习2 3.
根据定理2 - 2和程序1 4 - 7可知，如果采用“中间的中间”规则并取r= 9，则用于寻找第k个元素的时间t （n）可按如下递归公式来计算：
在上述递归公式中，假设当n＜9 0时使用复杂性为nl o gn的求解算法，当n≥9 0时，采用“中间的中间”规则进行分而治之求解。利用归纳法可以证明，当n≥1时有t （n）≤7 2cn （练习2 4 ）。
当元素互不相同时，可以使用r= 5来得到线性时间性能。
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